Question

【題目】閱讀理解：如圖1，在△ABC中，當(dāng)DE∥BC時(shí)可以得到三組成比例線段：① ；② ；③ ．反之，當(dāng)對(duì)應(yīng)線段程比例時(shí)也可以推出DE∥BC．

理解運(yùn)用：三角形的內(nèi)接四邊形是指頂點(diǎn)在三角形各邊上的四邊形．

（1）如圖2，已知矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形，將矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中頂點(diǎn)D、E、F、G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、B、Q、H，在圖2中畫出平移后的圖形；

（2）在（1）所得的圖形中，連接CH并延長(zhǎng)交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接AR．求證：AR∥BC；

（3）如圖3，某小區(qū)有一塊三角形空地，已知△ABC空地的邊AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；準(zhǔn)備在△ABC內(nèi)建一個(gè)內(nèi)接矩形廣場(chǎng)DEFG（點(diǎn)E、F在邊BC上，點(diǎn)D、G分別在邊AB和AC上），三角形其余部分進(jìn)行植被綠化，按要求欲使矩形DEFG的對(duì)角線EG最短，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出使對(duì)角線EG最短的矩形．并求出對(duì)角線EG的最短距離（不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）圖形見(jiàn)解析，最短距離為

【解析】

（1）根據(jù)題意，利用平移的性質(zhì)畫出矩形PBQH即可；

（2）如圖1中，連接CH并延長(zhǎng)交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接AR，利用平行線分線段成比例，由PH∥BC，DG∥BC，可得對(duì)應(yīng)線段成比例，再由PH=DG可證RH，BC，AG，AC四條線段對(duì)應(yīng)成比例，可得到AR∥GH，再由HG∥BC，利用平行線的傳遞性，可證得結(jié)論；

（3）如圖2中，作AR∥BC．BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過(guò)點(diǎn)H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F ，易得到四邊形DEFG是矩形，此時(shí)矩形的對(duì)角線最短即就是EG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出GR的長(zhǎng)，再求出BH的長(zhǎng)，然后利用平行四邊形的對(duì)邊相等，可求出EG的長(zhǎng)．

（1）解：矩形PBQH如圖1所示

（2）解：如圖1中，連接CH并延長(zhǎng)交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接AR

∵PH∥BC，

∴

∵DG∥BC，

∴

∵PH=DG，

∴

∴AR∥HG，

∵HG∥BC，

∴AR∥BC

（3）解：如圖2中，作AR∥BC．BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過(guò)點(diǎn)H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F

則四邊形DEFG是矩形，此時(shí)矩形的對(duì)角線最短（BH是垂線段，垂線段最短，易證EG=BH，故此時(shí)矩形的對(duì)角線EG最短）．

在Rt△RBC中，

∵BC=600，BR=200

∴CR=

∴BH=

由（2）可知EG=BH=．