Question

21、如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F．
求證：四邊形AFCE是菱形．

Answer 1

分析：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．

解答：解：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．（2分）
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．（5分）
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分線．（8分）
∴AF=AE，CF=CE，
又∵EA=EC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四邊形AFCE為菱形．（10分）

方法二：同方法一，證得△AOE≌△COF．（5分）
∴AE=CF．
∴四邊形AFCE是平行四邊形．（8分）
又∵EF是AC的垂直平分線，
∴EA=EC，
∴四邊形AFCE是菱形．（10分）

方法三：同方法二，證得四邊形AFCE是平行四邊形．（8分）
又EF⊥AC，（9分）
∴四邊形AFCE為菱形．（10分）

點(diǎn)評：本題利用了中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．