（12）觀察下列各式：
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…
（1）用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示上述過程中的規(guī)律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（2）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下面問題：已知a，b是有理數(shù)，且|ab-2|與|b-1|互為相反數(shù)．
求 
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2011)(b+2011)
的值．
分析：（1）根據(jù)已知，用字母代替上面題中的分母，很容易得出規(guī)律．
（2）根據(jù)題目，先解出a、b的值，再將題目化成如已知中數(shù)的形式，就很好解決了．
解答：解：（1）由已知可得規(guī)律為
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．

（2）∵|ab-2|+|b-1|=0，
∴|ab-2|=0，|b-1|=0，
即ab=2，b=1，a=2，
代入式子
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2011)(b+2011)

=
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2012×2013

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2012
-
1
2013

=1-
1
2013

=
2012
2013
．
故答案為：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．
點(diǎn)評：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，得出
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，以及抵消法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列各式及驗(yàn)證過程：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
驗(yàn)證：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
驗(yàn)證：
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
；
（1）按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于等于2的整數(shù)）表示的等式，并進(jìn)行驗(yàn)證．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）根據(jù)以上式子填空：
①
1
8×9
=
 
；  ②
1
n×(n+1)
=
 
（n是正整數(shù)）
（2）根據(jù)以上式子及你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列各式：①4=22；②4+12=42；③4+12+20=62；④4+12+20+28=82；…則第n個等式為
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）2
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）觀察下列各式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
20
=
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…
由此可以推測：
1
56
=
1
7×8
=
1
7
-
1
8
1
7×8
=
1
7
-
1
8
，
1
72
=
1
8×9
=
1
8
-
1
9
1
8×9
=
1
8
-
1
9
．
（2）用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示（1）中的一般規(guī)律：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（3）請用（2）中的規(guī)律計(jì)算：
1
(a+1)(a+2)
+
1
(a+2)(a+3)
+
1
(a+3)(a+4)
．

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同步練習(xí)冊答案