Question

如圖，在直角坐標系中，A（0，6），C（8，0），OA、AC的中點為M、N，動點P從O出發(fā)以每秒1個單位的速度按照箭頭方向通過C、N到M，設(shè)P點從O開始運動的路程為x，△AOP的面積為y．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P從O出發(fā)到M止，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若⊙P的半徑為3，⊙N的半徑為1；在點P運動過程中，t為何值時⊙P與⊙N相切，（直接寫出t值）．

Answer 1

分析：（1）直接運用待定系數(shù)法將點A、B的坐標代入解析式就可以求出直線AC的解析式．
（2）y與x的函數(shù)關(guān)系式，從點A在三段不同的線段上運動的變化規(guī)律不同有三個不同的解析式，當(dāng)在CN上移動是利用勾股定理表示出高從而表示出關(guān)系式．
（3）⊙P與⊙N相切的位置分為六種情況進行計算，利用圓相切的性質(zhì)求出相應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意得：

6=b 0=8k+b

解得：

k=- 3 4 b=6

∴直線AC的解析式為：y=-

3

4

x+6

（2）①當(dāng)0＜x≤8時，
y=

1

2

OP•AO
∵OP=t，AO=6
y=3x； 
②當(dāng)8＜x≤13時，由勾股定理可以求出：AC=10
∵N是AC的中點
∴NC=

1

2

AC=5
∵M是AO中點，
∴MN是△AOC得中位線
∴MN=

1

2

OC=4
作PE⊥OA于E
∴△AEP∽△AOC
∴

PE

OC

=

AP

AC

∴

PE

8

=

10-(x-8)

10

解得：
PE=

72-4x

5

∴y=

1

2

×6× 

72-4x

5

即y=-

12

5

x+43

1

5

；

③當(dāng)13＜x＜17時，
PN=x-13
∴MP=4-（x-13）=17-x
∴y=

1

2

×6×(17-x)
∴y=-3x+51

（3）利用三角形相似和勾股定理可以求出：
t=9或11或15或17或4+

7

或4-

7

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運用，三角形的面積公式等知識點．