Question

（2012•鄂爾多斯）如圖，點A在雙曲線y=

4

x

上，且OA=4，過點A作AC⊥y軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC的周長為

2

6

．

Answer 1

分析：由OA的垂直平分線交OC于點B可知OB=AB，故△ABC的周長=AC+OC，設(shè)A（a，b），由于點A在第一象限，故a＞0，b＞0，根據(jù)AC⊥y軸可知AC²+OC²=OA²，再根據(jù)點A在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上可知b=

4

a

，由此可組成關(guān)于a、b的方程組，求出a+b的值即可．

解答：解：∵OA的垂直平分線交OC于點B，
∴OB=AB，
∴△ABC的周長=AC+OC，
設(shè)A（a，b），
∵點A在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴AC+OC=a+b，
∵AC⊥y軸，OA=4，
∴AC²+OC²=OA²，即a²+b²=16①，
∵點A在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，
∴b=

4

a

②，
由①②得，a+b=2

6

，即△ABC的周長為2

6

．
故答案為：2

6

．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，此題涉及到線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，在解答此題時要注意利用數(shù)形結(jié)合．