Question

在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△CD’E’（使∠BCE′＜180°），連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，當(dāng)AC=BC時(shí)，AD′：BE′的值為

 

；
（2）如圖2，當(dāng)AC=5，BC=4時(shí)，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的條件下，若∠ACB=60°，且E為BC的中點(diǎn)，求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）AD′和BE′應(yīng)該相等，可通過(guò)證△ACD′≌△BCE′來(lái)求解．這兩個(gè)三角形中已知的條件有：∠ACD′和∠BCE′是一對(duì)等角的補(bǔ)角，因此這兩角相等．然后證其他條件，由于AC=AB，DE∥AB，因此△CDE和△CD′E′都是等腰三角形，由此可得出AC=BC，CE′=CD′，由此滿足了全等三角形的判定中SAS的條件，因此這兩三角形全等，可得出AD′=BE′即它們的比為1；
（2）方法同（1）只不過(guò)線段相等換成了線段成比例，而三角形全等變成了三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例即可得出AD′、BE′的比例關(guān)系．
（3）如果過(guò)B作BM⊥AC于M，那么可根據(jù)∠ACB的度數(shù)和BC的長(zhǎng)求出BM的值，由此可知：△OAB中，高BM是個(gè)定值，因此△OAB面積最小時(shí)，OA最小，那么此時(shí)OC最大．然后來(lái)求出此時(shí)OC的長(zhǎng)，由題意可知，E′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，CE′為半徑的圓，而BE′總和圓C有交點(diǎn)，因此要想使OC最長(zhǎng)，那么∠E′BC的度數(shù)就要最大，即此時(shí)BE′是圓C的切線，∠BE′C=90°，∠E′BC=30°（由于∠ACB=60°，因此∠E′BC的最大度數(shù)只能是30°），那么O與E′重合即可求出CE′和OC的長(zhǎng)，而后可根據(jù)AC的長(zhǎng)求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出此時(shí)△OAB的面積．

解答：解：（1）1

（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．∴

EC

BC

=

DC

AC

．
由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得，EC=E′C，DC=D′C，
∴

E′C

BC

=

D′C

AC

．
∵∠ECD=∠E′CD′，
∴∠ECD+∠ACE′=∠E′CD′+∠ACE′即∠BCE′=∠ACD′．
∴△BCE′∽△ACD′．
∴

AD′

BE′

=

AC

BC

=

5

4

．

（3）解：作BM⊥AC于點(diǎn)M，則BM=BC•sin60°=2

3

．
∵E為BC中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

BC=2．
△CDE旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)E′在以點(diǎn)C為圓心、CE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
∵CO隨著∠CBE′的增大而增大，
∴當(dāng)BE′與⊙C相切時(shí)，即∠BE′C=90°時(shí)∠CBE′最大，
則CO最大．
∴此時(shí)∠CBE′=30°，CE′=

1

2

BC=2=CE．
∴點(diǎn)E′在AC上，即點(diǎn)E′與點(diǎn)O重合．
∴CO=CE′=2．
又∵CO最大時(shí)，AO最小，且AO=AC-CO=3．
∴S_△OAB最小=

1

2

AO•BM=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（3）中結(jié)合圓的知識(shí)來(lái)確定OA的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．