Question

如圖，以⊙O兩條互相垂直的直徑所在直線為軸建立平面直角坐標系，兩坐標軸交⊙O于A，B，C，D四點，點P在弧CD上，連PA交y軸于點E，連CP并延長交y軸于點F．
（1）求∠FPE的度數；
（2）求證：OB²=OE•OF；
（3）若⊙O的半徑為

3

，以線段OE，OF的長為根的一元二次方程為x²-

5

2

3

x+m=0，求直線CF的解析式；
（4）在（3）的條件下，過點P作⊙O的切線PM與x軸交于點M，求△PCM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理可知∠APC=90°，很顯然∠FPE=90°．
（2）很顯然本題要證的是△OCF和△OEA相似，這兩個三角形中已知的條件有一組直角，而∠OAE和∠OCF是一組對頂角的余角因此也相等，得出這兩個三角形相似后可知：OA•OC=OE•OF，而OA=OB=OC，由此可得證．
（3）根據韋達定理可知OE•OF=m，根據（2）的結論可知：OE•OF=3，因此m=3，據此可求出OE，OF的長，即可得出F的坐標．
根據C、F兩點的坐標可用待定系數法求出直線CF的解析式．
（4）根據（2）可得出E點的坐標，也就能求出直線AE的解析式，聯(lián)立直線CF的解析式即可得出P點坐標．
連接OP，則OP⊥PM，可先求出直線OP的解析式，然后根據OP⊥PM得出直線PM的解析式即可求出M點的坐標．
已知了M點的坐標就能求出MC的長，然后根據P點縱坐標即可求出△MCP的面積．
（另一種解法：先在直角三角形APC中，用AC的長和∠CAP的余弦值求出AP的長，同理求出PN，AN的長，即可得出ON的長．然后在直角三角形OPM中根據射影定理求出MN的長，即可求出MC的長，已知了MC和PN的長即可求出三角形PMC的面積．）

解答：解：（1）根據圓周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．

（2）∵∠OAE=∠PFE=90°-∠OEA=90°-∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∴

OE

OC

=

OA

OF

．
∵OA=OB=OC，
∴OB²=OE•OF．

（3）由題意知：OE•OF=m=OB²=3，
∴m=3．
∴x²-

5 3

2

x+3=0，解得x=

3

2

，x=2

3

．
∵OF＞OE，
∴OE=

3

2

，OF=2

3

，即E（0，-

3

2

），F(xiàn)（0，-2

3

）；
設直線CF的解析式為y=kx+b，易知：C（-

3

，0），則有：

- 3 k+b=0 b=-2 3

，解得

k=-2 b=-2 3

．
∴直線CF的解析式為y=-2x-2

3

．

（4）過P作PN⊥x軸于N．
在直角三角形OAE中，OA=

3

，OE=

3

2

，因此AE=

15

2

．
在直角三角形ACP中，AP=AC•cos∠OAE=AC•

OA

AE

=2

3

•

3

15 2

=

4 15

5

．
在直角三角形APN中，PN=AP•sin∠OAE=AP•

OE

AE

=

4 15

5

•

3 2

15 2

=

4 3

5

；
AN=AP•cos∠OAE=

4 15

5

•

3

15 2

=

8 3

5

，
∴ON=AN-OA=

3 3

5

．
在直角三角形MPO中，根據射影定理可得：
PN²=ON•MN，∴MN=

16 3

15

，
∴MC=MN+PN-OC=

2 3

3

．
∴S_△PCM=

1

2

•MC•PN=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

5

=

4

5

．

點評：本題為一次函數綜合題，主要考查了圓的相關知識和圖形面積的求法，難度適中．