Question

如圖，圓O與圓D相交于A，B兩點(diǎn)，BC為圓D的切線，點(diǎn)C在圓O上，且AB=BC．
（1）證明：點(diǎn)O在圓D的圓周上．
（2）設(shè)△ABC的面積為S，求圓D的半徑R的最小值．

Answer 1

解：（1）連OA，OB，OC，AC，因?yàn)镺為圓心，AB=BC，
所以△OBA∽△OBC，從而∠OBA=∠OBC．
因?yàn)镺D⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO，
所以DB=DO，因此點(diǎn)O在圓D的圓周上．

（2）設(shè)圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于點(diǎn)E，易知BE⊥AC．
設(shè)AC=2y（0＜y≤a），OE=x，AB=l，則a²=x²+y²，S=y（a+x），
l²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=
因?yàn)椤螦BC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
所以△BDO∽△ABC，所以=，即，故r=．
所以r²==-=-≥，即r≥，
其中等號當(dāng)a=y時成立，
這時AC是圓O的直徑．所以圓D的半徑r的最小值為．
分析：（1）連OA，OB，OC，AC，可證△OBA∽△OBC，即可證明∠OBA=∠OBC，所以DB=DO，即可證點(diǎn)O在圓D的圓周上；
（2）設(shè)圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于點(diǎn)E，設(shè)AC=2y（0＜y≤a）即可求證△BDO∽△ABC，進(jìn)而可以r，即可求r的最小值，即可解題．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了不等式的極值問題，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中求點(diǎn)O在圓D的圓周上是解題的關(guān)鍵．