在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn),連接PD、DE,以PD、DE為邊作平行四邊形PDEF,設(shè)BP=m
(1)用m的代數(shù)式表示PE的長;
(2)當(dāng)m=5時(shí),問:是否存在點(diǎn)D,使頂點(diǎn)F落在邊BC上?若存在,試求CD長;若不存在,請說明理由;
(3)若四邊形PDEF為菱形,且F落在邊BC上,試求m的值.
分析:(1)根據(jù)勾股定理求出AB,證△BEP∽△BCA,得出比例式,代入求出即可.
(2)求出PE,根據(jù)勾股定理求出BE,求出AE,求出DE,即可得出答案.
(2)用m把BE、AE、AD表示出來,根據(jù)勾股定理求出DE和DP,根據(jù)DP=DE即可得出關(guān)于m的方程,求出即可.
解答:解:(1)∵在Rt△BCA中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,由勾股定理得:AB=10,
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=∠C=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BEP∽△BCA,
PB
AB
=
PE
AC
,
m
10
=
PE
6
,
∴PE=
3
5
m.

(2)存在點(diǎn)D,使頂點(diǎn)F落在邊BC上,
理由是:如果頂點(diǎn)F落在BC上,
則ED∥BC,
當(dāng)BP=m=5時(shí),PE=
3
5
m=3
∴BE=
52-32
=4,AE=AB-BE=10-4=6,
∵四邊形PDEF是平行四邊形,
∴DE∥BC,
∴Rt△AED∽R(shí)t△ABC,
DE
BC
=
AE
AB
,
∴DE=
AE×BC
AB
=
6×8
10
=
24
5
<5,
∴存在,頂點(diǎn)F落在BC上
∵Rt△AED∽R(shí)t△ABC,
AD
AC
=
AE
AB

∴AD=
AE×AC
AB
=
6×6
10
=3.6,
∴CD=AC-AD=6-3.6=2.4.

(3)四邊形PDEF為菱形,且F落在BC上
則ED∥BC,且PD=ED
∵PE=
3
5
m,
∴BE=
4
5
m,AE=10-
4
5
m,
ED=
BC×AE
AB
=
8×(10-
4
5
m)
10
=8-
16
25
m,
AD=
AC×AE
AB
=
6×(10-
4
5
m)
10
=6-
12
25
m,
CD=6-(6-
12
25
m)=
12
25
m,
PC=8-m,
∵菱形PDEF,
∴PD=DE,
∴PD2=DE2,
∴(
12
25
m)2+(8-m)2=(8-
16
25
m)2,
解得:m=
400
57
,m=0(舍去),
即m=
400
57
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)的應(yīng)用,本題綜合性比較強(qiáng),難度偏大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,D是AB上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O切AC于E,求⊙O的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)O是△ABC的重心,則OD的長為( �。�
A、12B、6C、2D、3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在Rt△ABC中,已知a及∠A,則斜邊應(yīng)為( �。�
A、asinA
B、
a
sinA
C、acosA
D、
a
cosA

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD:DB=1:3.求tanA和tanB.(要求畫出圖形)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,且AD:BD=9:4,則AC:BC的值為( �。�
A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案