Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直線x=m（m＞2）與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線x=m（m＞2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，列方程組求a、b、c即可；
（2）因為D、O分別為兩個直角三角形的頂點，可分為△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC兩種情況，利用相似比求ED，確定E點坐標；
（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1，分為①當點E₁的坐標為（m，

2-m

2

）時，點F₁的坐標為（m-1，

2-m

2

），②當點E₂的坐標為（m，4-2m）時，點F₂的坐標為（m-1，4-2m），兩種情況，分別代入拋物線解析式求m的值，確定F點的坐標．

解答：解：（1）將點A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，得

a+b+c=0 4a+2b+c=0 c=-2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
當△EDB∽△AOC時，得

AO

ED

=

CO

BD

，
即

1

ED

=

2

m-2

，解得ED=

m-2

2

，
∵點E在第四象限，
∴E₁（m，

2-m

2

），
當△BDE∽△AOC時，

AO

BD

=

CO

ED

時，即

1

m-2

=

2

ED

，
解得ED=2m-4，
∵點E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則
EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1，
當點E₁的坐標為（m，

2-m

2

）時，點F₁的坐標為（m-1，

2-m

2

），
∵點F₁在拋物線的圖象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=

7

2

，m=2（舍去），
∴F₁（

5

2

，-

3

4

），
當點E₂的坐標為（m，4-2m）時，點F₂的坐標為（m-1，4-2m），
∵點F₂在拋物線的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關鍵是求二次函數(shù)解析式，利用相似三角形，平行四邊形的性質，列方程求解．