在生產(chǎn)中，為了節(jié)約原材料，加工某些零件時(shí)常利用一些邊角余料，如圖，△ABC為銳角三角形廢料．基中BC＝12cm，BC邊上的高AD＝8cm，在△ABC上截取矩形PQMN，使QM與BC邊重合，試說(shuō)明P，Q兩點(diǎn)落在什么位置時(shí)，才可使它的面積S最大？最大值是多少？此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬又各是多少？

答案：
解析：

　　[答案]如圖，設(shè)PN交AD于E．PQ長(zhǎng)為x(cm)，PN長(zhǎng)為y cm．矩形的面積為S(cm2)．則AE＝(8－x)cm，

　　∵PN∥BC．∴∠APN＝∠ABC．

　　又∠PAN＝∠BAC，∴△APN∽△ABC．∴＝，

　　即＝．∴y＝(8－x)．

　　∴S＝PN·PQ＝xy＝(8－x)x＝－x2＋12x(0＜x＜8)．

　　即S＝－(x－4)2＋24．

　　∴當(dāng)x＝4時(shí)，S有最大值24，此時(shí)y＝×(8－4)＝6cm．

　　此時(shí)＝＝＝＝，即P是AB的中點(diǎn)，Q是BD的中點(diǎn)．

　　故當(dāng)P，Q分別為AB，BD的中點(diǎn)時(shí)，才可使矩形PQMN的面積最大，最大面積為24cm2，此時(shí)矩形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm．

　　[剖析]先用字母x表示線段PQ的長(zhǎng)，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，得到PN與x的函數(shù)關(guān)系式，從而用x的代數(shù)式表示PN的長(zhǎng)，由此建立S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，本題也可設(shè)AE長(zhǎng)為x，同學(xué)們不妨試一試，并比較兩種解決方式誰(shuí)更優(yōu)．


提示：

　　[方法提煉]

　　用x表示某一個(gè)量后，再運(yùn)用相似形的性質(zhì)或解直角三角形的知識(shí)或其他知識(shí)溝通其他量與x的關(guān)系，從而建立二次函數(shù)關(guān)系式表示實(shí)際問(wèn)題，并運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某小型開關(guān)廠今年準(zhǔn)備投入一定的經(jīng)費(fèi)用于現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備的改造以提高經(jīng)濟(jì)效益．通過(guò)測(cè)算：今年開關(guān)的年產(chǎn)量y（萬(wàn)只）與投入的改造經(jīng)費(fèi)x（萬(wàn)元）之間滿足3-y與x+1成反比例，且當(dāng)改造經(jīng)費(fèi)投入1萬(wàn)元時(shí)，今年的年產(chǎn)量是2萬(wàn)只．
（1）求年產(chǎn)量y（萬(wàn)只）與改造經(jīng)費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)解析式．（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)只開關(guān)所需要的材料費(fèi)是8萬(wàn)元．除材料費(fèi)外，今年在生產(chǎn)中，全年還需支付出2萬(wàn)元的固定費(fèi)用．
①求平均每只開關(guān)所需的生產(chǎn)費(fèi)用為多少元？（用含y的代數(shù)式表示）
（生產(chǎn)費(fèi)用=固定費(fèi)用+材料費(fèi)）
②如果將每只開關(guān)的銷售價(jià)定位“平均每只開關(guān)的生產(chǎn)費(fèi)用的1.5倍”與“平均每只開關(guān)所占改造費(fèi)用的一半”之和，那么今年生產(chǎn)的開關(guān)正好銷完．問(wèn)今年需投入多少改造經(jīng)費(fèi)，才能使今年的銷售利潤(rùn)為9.5萬(wàn)元？
（銷售利潤(rùn)=銷售收入一生產(chǎn)費(fèi)用-改造費(fèi)用）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某工人在生產(chǎn)中，經(jīng)過(guò)第一次技術(shù)改進(jìn)，每天所做的零件增加了10個(gè)，從而8天內(nèi)做完的零件就超過(guò)184個(gè)，后來(lái)，經(jīng)過(guò)第二次技術(shù)改進(jìn)，每天所做的零件又增加了9個(gè)，這樣只有6天就超過(guò)了前8天所做的零件個(gè)數(shù)，這個(gè)工人原來(lái)每天所做的零件個(gè)數(shù)的范圍是怎樣的？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新教材完全解讀　九年級(jí)數(shù)學(xué)　(下冊(cè))　(配華東師大版新課標(biāo)) 華東師大版新課標(biāo) 題型：044

如圖所示，在生產(chǎn)中，為了節(jié)約原材料，加工零件時(shí)常用一些邊角余料，△ABC為銳角三角形廢料．其中BC＝12 cm，BC邊上高AD＝8 cm，在△ABC上截取矩形PQMN，與BC邊重合，畫出草圖說(shuō)明P，N兩點(diǎn)落在什么位置上，才能使它的面積最大？最大面積是多少？并求出這時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2002年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《反比例函數(shù)》（03）（解析版） 題型：解答題

（2005•常德）某小型開關(guān)廠今年準(zhǔn)備投入一定的經(jīng)費(fèi)用于現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備的改造以提高經(jīng)濟(jì)效益．通過(guò)測(cè)算：今年開關(guān)的年產(chǎn)量y（萬(wàn)只）與投入的改造經(jīng)費(fèi)x（萬(wàn)元）之間滿足3-y與x+1成反比例，且當(dāng)改造經(jīng)費(fèi)投入1萬(wàn)元時(shí)，今年的年產(chǎn)量是2萬(wàn)只．
（1）求年產(chǎn)量y（萬(wàn)只）與改造經(jīng)費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)解析式．（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)只開關(guān)所需要的材料費(fèi)是8萬(wàn)元．除材料費(fèi)外，今年在生產(chǎn)中，全年還需支付出2萬(wàn)元的固定費(fèi)用．
①求平均每只開關(guān)所需的生產(chǎn)費(fèi)用為多少元？（用含y的代數(shù)式表示）
（生產(chǎn)費(fèi)用=固定費(fèi)用+材料費(fèi)）
②如果將每只開關(guān)的銷售價(jià)定位“平均每只開關(guān)的生產(chǎn)費(fèi)用的1.5倍”與“平均每只開關(guān)所占改造費(fèi)用的一半”之和，那么今年生產(chǎn)的開關(guān)正好銷完．問(wèn)今年需投入多少改造經(jīng)費(fèi)，才能使今年的銷售利潤(rùn)為9.5萬(wàn)元？
（銷售利潤(rùn)=銷售收入一生產(chǎn)費(fèi)用-改造費(fèi)用）

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