Question

【題目】在小學(xué)，我們已經(jīng)初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個(gè)角都是90°.如圖，長方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

（1）當(dāng)t=3時(shí)，

①求線段CE的長；

②當(dāng)EP平分∠AEC時(shí)，求a的值；

（2）若a=1,且△CEP是以CE為腰的等腰三角形,求t的值；

（3）連接DP,直接寫出點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對稱時(shí)的a與t的值.

Answer 1

【答案】（1）①5cm；②；（2）3或；（3），t=4.

【解析】試題分析:(1) ①當(dāng)t=3時(shí),根據(jù)路程=速度×?xí)r間,可求出DE=3,然后由勾股定理可計(jì)算出CE, ②當(dāng)EP平分∠AEC時(shí),根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得:點(diǎn)P到EC的距離等于點(diǎn)P到AD的距離,即EC邊上的高等于4,利用等積法可求PC,再利用線段和差關(guān)系求BP,根據(jù)速度=路程÷時(shí)間,可計(jì)算出a,(2)根據(jù)線和差關(guān)系,勾股定理把PC,PE,CE用含t的代數(shù)式表示出來,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論,列出關(guān)于t的方程,解方程即可求解,(3)根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對稱,可得DP垂直平分CE,所以DE=CD,PE=PC,然后根據(jù)DE=CD,可先計(jì)算出t,然后根據(jù)PE=PC可求出a.

試題解析:(1) ①當(dāng)t=3時(shí),則DE=3,

在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

②當(dāng)EP平分∠AEC時(shí),根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得:點(diǎn)P到EC的距離等于點(diǎn)P到AD的距離,即EC邊上的高等于4,所以,

所以,

所以PC=5,則PB=BC－PC=9－5=4,

又因?yàn)?/span>PB=at=3t,

所以3t=4,解得a=,

(2) 在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

所以PC=BC－BP=9－t,

由勾股定理可得:PE=,

當(dāng)EC=PE時(shí),

=,解得t=3或t=9(不符合題意,舍去),

當(dāng)EC=PC時(shí),

=9－t,解得t=,

所以t=3或t=,

(3) 因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對稱,

所以DP垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,

所以DE=t=4,

因?yàn)?/span>BP=at,所以BP=4a，

所以PC=9－4a,

由勾股定理可得:PE=,

=9－4a,解得a=,

所以a=,t=4.