Question

（2013•濱湖區(qū)二模）我們把三角形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)三角形三邊所在直線距離的最小值叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)三角形的距離．如圖1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，則稱PD的長度為點(diǎn)P到△ABC的距離．
在圖2、圖3中，已知A（6，0），B（0，8）．
（1）若圖2中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），求點(diǎn)P到△AOB的距離；
（2）若點(diǎn)R是圖3中△AOB內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)R到△AOB的距離為1，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出滿足條件的點(diǎn)R所構(gòu)成的封閉圖形，并求出這個(gè)圖形的周長．

Answer 1

分析：（1）求出AB，過點(diǎn)P分別作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分別為C、D、E，根據(jù)三角形面積公式即可求出PE，即可得出答案；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形的中位線求出周長即可．

解答：解：（1）如圖2，

∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，AB=10，
過點(diǎn)P分別作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分別為C、D、E，如圖2，
∵P（2，4），
∴PD=2，PC=4，
∵S_△POB+S_△PAB+S_△POA=S_△ABO，
∴

1

2

×8×2+

1

2

×6×4+

1

2

×10×PE=

1

2

×6×8，
∴PE=0.8，
∵4＞2＞0.8，
∴P到△AOB的距離為0.8；

（2）如圖3，

設(shè)點(diǎn)I為△AOB的內(nèi)心，連接IA，IB，IO，分別取IA，IB，IO 的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，則△EFG即為滿足條件的點(diǎn)R所構(gòu)成的封閉圖形，如圖3，
由畫圖可知，△EFG∽△ABO，由上題及已知條件可知，△EFG與△ABO的相似比為

1

2

，
∵△ABO的周長為24，
∴△EFG的周長為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，三角形的中位線，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力．