Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角α（0°＜α＜90°），得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）求證：BE=BF；
（2）當α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，四邊形DEBF的內(nèi)部是否存在一個圓O，使得⊙O與四邊形DEBF的四邊都相切？若存在，請求出⊙O的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
旋轉可知：∠A=∠C₁，BA=BC₁，∠ABE=∠C₁BF，
在△ABE≌△C₁BF中，
．
∴△ABE≌△C₁BF．
∴BE=BF；

（2）四邊形BC₁DA是菱形．
∵∠A₁=∠ABA₁=30°，∠C=∠CBC₁=30°，
∴A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形．
又∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形；

（3）四邊形DEBF的內(nèi)部存在一個內(nèi)切圓．理由如下：
連接BD．
∵四邊形BC₁DA是菱形，
∴AD=C₁D，A₁D=CD．
又∵∠A₁=∠C=30°，∠A₁DE=∠CDF，
∴△A₁ED≌△CFD，DE=DF．
又∵DB=DB，EB=FB，
∴△DEB≌△DFB．
∴四邊形DEBF是關于DB的軸對稱圖形，DB是∠DEB和∠EBF的角平分線作∠DEB的角平分線交DB于點O，
∵四邊形DEBF是關于DB的軸對稱圖形，E、F是對稱點，
∴FO是∠DFB的角平分線．
∴點O就是四邊形DEBF內(nèi)切圓的圓心．
過E做EG⊥AB，垂足為G，在Rt△GBE中，
∵∠A=∠ABE=30°，
∴GB=AB=1，．
過O做OP⊥EB，垂足為P，則OP就是⊙O的半徑．
∵∠DEB=∠A+∠EBA=60°，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°，
∴∠OEB=30°，∠OBE=45°．
設⊙O的半徑為r，
可得：BP=OP=r，EP=r
∵EB=EP+BP=r+r=，
解得：r=，
∴⊙O的半徑是．
分析：（1）利用旋轉不變性證得△ABE≌△C₁BF即可證得兩條線段相等；
（2）利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形來判定菱形即可；
（3）假設存在，在四邊形的內(nèi)部找到一點，使得這點到四邊形各邊的距離相等即可．
點評：本題考查了圓的綜合知識，特別是本題中涉及到的旋轉問題，更是中考的熱點考題，同學們大多都覺得比較難，其實解決此類問題的關鍵是利用好旋轉不變量．