Question

二次函數(shù)與的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，3），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)，分別交兩條拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．則下列結(jié)論：
（1）無(wú)論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=4；（3）當(dāng)x≥-2時(shí)，y₁、y₂都隨x的增大而增大；（4）2AB=3AC；
其中正確的是（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）（4）
D．（1）（4）

Answer 1

【答案】分析：把y₂配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題對(duì)①進(jìn)行判斷；把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁，求出a確定y₁的關(guān)系式，然后把x=0分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再計(jì)算它們的差，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的增減性對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，則可計(jì)算出AB與AC，然后對(duì)④進(jìn)行判斷．
解答：解：y₂=（x-3）²+，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），而a=＞0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則函數(shù)的最小值為，所以①正確；
把A（1，3）代入得9a-3=3，解得a=，則y₁=（x+2）²-3，當(dāng)x=0，y₁=-，y₂=，則y₂-y₁=，所以②錯(cuò)誤；
當(dāng)x≥-2時(shí)，y₁隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y₂隨x的增大而增大，所以當(dāng)x≥3時(shí)，y₁、y₂都隨x的增大而增大，所以③錯(cuò)誤；
因?yàn)閥₁=（x+2）²-3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-2，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3）；因?yàn)閥₂=（x-3）²+的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）；則AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，所以④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線(xiàn)，當(dāng)a＞0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b2a；拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．