Question

（2008•菏澤）（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．
（2）結論應用：
①如圖2，點M，N在反比例函數y=（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F，試證明：MN∥EF；
②若①中的其他條件不變，只改變點M，N的位置如圖3所示，請判斷MN與EF是否平行．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，根據CG∥DH，得到△ABC與△ABD同底，而兩個三角形的面積相等，因而CG=DH，可以證明四邊形CGHD為平行四邊形，∴AB∥CD．
（2）判斷MN與EF是否平行，根據（1）中的結論轉化為證明S_△EFM=S_△EFN即可．
解答：解：（1）分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA=∠DHB=90°，（1分）
∴CG∥DH
∵△ABC與△ABD的面積相等
∴CG=DH（2分）
∴四邊形CGHD為平行四邊形
∴AB∥CD．（4分）

（2）①證明：連接MF，NE，（6分）
設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），
∵點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=x₁•y₁=k，（7分）
S_△EFN=x₂•y₂=k，（8分）
∴S_△EFM=S_△EFN；（9分）
∴由（1）中的結論可知：MN∥EF．

②由（1）中的結論可知：MN∥EF．（10分）
（若生使用其他方法，只要解法正確，皆給分．）

點評：本題考查了反比例函數與幾何性質的綜合應用，這是一個閱讀理解的問題，正確解決（1）中的證明是解決本題的關鍵．