Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△DEF終止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上，設(shè)△DEF平移的時(shí)間為x。
（1）求△DEF的邊長(zhǎng)；
（2）求M點(diǎn)、N點(diǎn)在BA上的移動(dòng)速度；
（3）在△DEF開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE·EF運(yùn)動(dòng)，最終運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．若設(shè)△PMN的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出它的定義域；并說明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大？

Answer 1

解：（1）當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖1所示： ∵△DEF為等邊三角形， ∴∠DFE=60°， ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90°， ∴FD=BC=3； （2）過E點(diǎn)作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM， 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x， ∴BM=2BG=x， ∴M點(diǎn)在BA上的移動(dòng)速度為，F(xiàn)點(diǎn)作FH⊥F1D1， 在Rt△FF1H中，F(xiàn)H=x×cos30°=x， 點(diǎn)N在BA上的移動(dòng)速度為； （3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=（3-x）， 當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，有2x+x=3， ∴x=1 ①當(dāng)P點(diǎn)在DM之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP1⊥AB，垂足為P1在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP1=（3-3x）=（1-x）， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=（0≤x≤1）， ②當(dāng)P點(diǎn)在ME之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP2⊥AB，垂足為P2， 在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP1=（1-x）， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：， ③當(dāng)P點(diǎn)在EF之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP3⊥AB，垂足為P3， 在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP3=（x-1）， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：， ∴y=， ∴當(dāng)x=2時(shí)，y最大=，而當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，， ∵， ∴當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，△PMN的面積最大。