Question

探究與發(fā)現(xiàn)：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=  °；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度數(shù)．

 

 

Answer 1

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①40°；②90°；③70°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．

②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由（2）的方法，進而可得答案．

（1）連接AD并延長至點F，

由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；

且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；

相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

又因為∠A=50°，∠BXC=90°，

所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②由（1）的結(jié)論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；

而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，

代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=77°，

∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD=140°-x°

∴（140-x）+x=77，

14-x+x=77，

x=70

∴∠A為70°．

考點：1．三角形的外角性質(zhì)；2．三角形內(nèi)角和定理．