Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，-3），拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得S_△PAB=8S_△ABD？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由
（3）若拋物線的對稱軸與x軸交于E點，點F在直線BC上，點M在的二次函數(shù)圖象上，如果以點F、M、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請你求出符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，再配方或頂點公式得到頂點D的坐標；
（2）先求得AB=4，可設P（x，x²-2x-3），根據(jù)S_△PAB=8S_△ABD，可得方程×4×（x²-2x-3）=64，依此可求P點坐標；
（3）先根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，得到DE=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和兩點間的距離公式得到方程，從而求得符合條件的點M的坐標．
解答：解：（1）將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，則

解得，
則y=x²-2x-3（2分）
y=x²-2x-3=（x-1）²-4或，=-4
故D（1，-4）（4分）

（2）當y=0時，x²-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0
x₁=3，x₂=-1
則B（3，0），AB=4
則S_△ABD=×4×4=8
8 S_△ABD=4×8=64
設P（x，x²-2x-3）
當S_△PAB=64時，×4×（x²-2x-3）=64
解得：x₁=7，x₂=-5
當x=7時，y=x²-2x-3=49-14-3=32
當x=-5時，y=x²-2x-3=45+10-3=32
綜上：P₁（7，32）P₂（-5，32）（8分）

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，則

解得，
則y=x-3
由題意知：DE=4
∵F、M、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形
∴FM∥DE，F(xiàn)M=DE
∴（x²-2x-3）-（x-3）=4
解得：x₁=4，x₂=-1
當x=4時，x²-2x-3=16-8-3=5
當x=-1時，x²-2x-3=1+2-3=0
故M₁（4，5），M₂（-1，0）．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式和交點坐標是解此題的關(guān)鍵，此題題型較好，綜合性比較強．用的數(shù)學思想是分類討論的思想．