Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，直線l過點(diǎn)C，且交拋物線于另一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合）．
（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）若直線l1經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，且l1∥l，則以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
（3）若過點(diǎn)A作AG⊥x軸，交直線l于點(diǎn)G，連接OG、BE，試證明OG∥BE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：二次函數(shù)y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），

∴ ，

解得： ，

∴此二次函數(shù)關(guān)系式為：y=x2﹣4x+3；

（2）

解：假設(shè)以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形．

①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2﹣1．

過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴點(diǎn)D（2，﹣1），點(diǎn)C（0，3），

∴DM=1，

∵l1∥l，

∴當(dāng)CE=DF時(shí)，四邊形CEDF是平行四邊形，

∴∠ECF+∠CFD=180°，

∵∠OCF+∠OFC=90°，

∴∠ECN+∠DFM=90°，

∵∠DFM+∠FDM=90°，

∴∠ECN=∠FDM，

在△ECN和△FDM中，

，

∴△ECN≌△FDM（AAS），

∴CN=DM=1，

∴ON=OC﹣CN=3﹣1=2，

當(dāng)y=2時(shí)，x2﹣4x+3=2，

解得：x=2± ；

當(dāng)x=2± 時(shí)，可得E（2+ ，2），F(xiàn)（﹣ ，0）或E（2﹣ ，2，），F(xiàn)（ ，0），

此時(shí)四邊形CFDE為平行四邊形．

②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2﹣2，則EF∥CD，且EF=CD．

過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；

過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N．

易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．

∴x2﹣4x+3=4，

解得：x=2± ．

綜上所述，以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+ ，2）、（2﹣ ，2）、（2+ ，4）、（2﹣ ，4）．

（3）

解：如圖②，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，

設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+3，

∵A（1，0），AG⊥x軸，

∴點(diǎn)G（1，k+3），

即OA=1，AG=k+3，

∵E是直線與拋物線的交點(diǎn)，

∴ ，

解得： ，

∴點(diǎn)E（k+4，（k+1）（k+3）），

∴BH=OH﹣OB=k+1，EH=（k+1）（k+3），

∴ ，

∵∠OAG=∠BHE=90°，

∴△OAG∽△BHE，

∴∠AOG=∠HBE，

∴OG∥BE．

【解析】（1）由二次函數(shù)y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數(shù)法求解，即可求得此二次函數(shù)關(guān)系式；（2）以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形，有兩種情形，需要分類討論，避免漏解：①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2﹣1所示；②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2﹣2所示；（3）首先過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點(diǎn)G與E的坐標(biāo)，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，繼而可證得OG∥BE．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．