Question

1．如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點(diǎn)B_n與點(diǎn)C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱△ABC是好三角形．

小麗發(fā)現(xiàn)好三角形折疊的次數(shù)不同∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系就不同．并作出展示：
第一種好三角形：如圖2，沿AD折疊一次，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；
第二種好三角形：如圖3，沿著AB₁、A₁B₂經(jīng)過兩次折疊．
（1）小麗展示的第一種好三角形中∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是∠B=∠C；
（2）如果有一個(gè)好三角形ABC要經(jīng)過5次折疊，最后一次恰好重合．則∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是∠B=5∠C．

Answer 1

分析 （1）在小麗展示的第一種好三角形中，如答圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)推知∠B=∠C；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C．

解答 解：（1）∠B=∠C；
如答圖1，沿AD折疊一次，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則AB=AC，故∠B=∠C．
故答案為：∠B=∠C；

（2）如答圖2所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點(diǎn)B₂與點(diǎn)C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁ B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁ B₁C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；
所以，一個(gè)好三角形ABC要經(jīng)過5次折疊，最后一次恰好重合．則∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是：∠B=5∠C．
故答案為：∠B=5∠C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合題，翻折變換（折疊問題）．解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．