Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若過(guò)A點(diǎn)且與BC平行的直線交BE的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連結(jié)CG．當(dāng)（5，4）是等邊三角形時(shí)，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)AD，OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DF⊥AC，
則DF⊥OD，所以可判斷DF是⊙O的切線；
（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠AEB=90°，利用△ABC是等邊三角形得BG是AC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到GA=GC，根據(jù)
AG∥BC得∠CAG=∠ACB=60°，于是可判斷△ACG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠AGC的度數(shù)．
解答：（1）證明：連結(jié)AD，OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BG是AC的垂直平分線，
∴GA=GC，
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°，
∴△ACG是等邊三角形，
∴∠AGC=60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理的推論．