(2009•朝陽區(qū)二模)將邊長OA=8,OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)O為原點(diǎn),頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸上.在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E、F,連接EF,將△EOF沿EF折疊,使點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時,OE的長度為______;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合時,過點(diǎn)D作DG∥y軸交EF于點(diǎn)T,交OC于點(diǎn)G.求證:EO=DT;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y),寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______,自變量x的取值范圍是______;
(4)如圖3,將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅,放在平面直角坐?biāo)系中,且OC=10,OC邊上的高等于8,點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合,過點(diǎn)D作DG∥y軸交EF于點(diǎn)T,交OC于點(diǎn)G,求出這時T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量x的取值范圍).
【答案】分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DE=OE,OC=CD.
如果設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo),可用E的縱坐標(biāo)表示出AE、ED的長.
可根據(jù)相似三角形ADE和CDB得出的關(guān)于AE,BC,AD,BD的比例關(guān)系式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo).也就求出了E的坐標(biāo)和OE的長.
(2)本題可通過證DT=OE來求出,如果連接OD,那么EF必垂直平分OD,如果設(shè)OD與EF的交點(diǎn)為P,那么OP=DP,△OEP≌△DPT,可得DT=OE;
(3)可先根據(jù)T的坐標(biāo)表示出AD,AE,然后可在直角三角形ADE中表示出DE.而DE又可用AO-AE表示.可以此來求出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況,可根據(jù)AD的長求出x的最小值,當(dāng)x取最大值時,EF平分∠OAB,即E′與A重合,四邊形EOGD為正方形,可據(jù)此求出此時x的值.有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍.
(4)的結(jié)論和(3)完全相同,求法也幾乎完全一樣.
解答:(1)5.
解:根據(jù)題意,運(yùn)用勾股定理得BD=6,AD=4.
設(shè)OE=x,則DE=x,AE=8-x.
在Rt△ADE中,x2=(8-x)2+42
解得x=5.即OE=5.

(2)證明:如圖1,∵△EDF是由△EFO折疊得到的,
∴∠1=∠2.
又∵DG∥y軸,∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴DE=DT.
∵DE=EO,
∴EO=DT.

(3)y=-x2+4.
4<x≤8.

(4)解:如圖2,連接OT,
由折疊性質(zhì)可得OT=DT.
∵DG=8,TG=y,
∴OT=DT=8-y.
∵DG∥y軸,
∴DG⊥x軸.
在Rt△OTG中,∵OT2=OG2+TG2,
∴(8-y)2=x2+y2
∴y=-x2+4.
點(diǎn)評:本題主要考查了矩形和平行四邊形的性質(zhì),三角形相似和全等,圖形的翻折變換,二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn).主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)B2是否在此拋物線上,請說明理由;
(3)在該拋物線上找一點(diǎn)P,使得△PBB2是以BB2為底的等腰三角形,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)在該拋物線上,是否存在兩點(diǎn)M、N,使得原點(diǎn)O是線段MN的中點(diǎn)?若存在,直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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A.1.2×10-5
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(1)如圖1,當(dāng)AC=BC時,AD′:BE′的值為______;
(2)如圖2,當(dāng)AC=5,BC=4時,求AD′:BE′的值;
(3)在(2)的條件下,若∠ACB=60°,且E為BC的中點(diǎn),求△OAB面積的最小值.

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