Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，CB=6cm．點(diǎn)Q、P分別是AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以0.5cm/s的速度向D點(diǎn)移動(dòng)；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)；設(shè)Q、P同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止移動(dòng)，另一個(gè)也隨之停止移動(dòng)．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）t為何值時(shí)，四邊形AQPD是等腰梯形？
（3）連接PQ，設(shè)PQ與AC的交點(diǎn)為O，求△AOQ的面積S（cm²）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系；
（4）過Q點(diǎn)作QE⊥AD于E，問是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形AQPD是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△ADC是等腰三角形，作DM⊥AB，在直角△ADM中，即可根據(jù)三角函數(shù)求得AD的長(zhǎng)，作DF⊥AC于F，則CF的長(zhǎng)即可求得，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)四邊形AQPD為等腰梯形，作PN⊥AB于N，作DM⊥AB于M．則當(dāng)AQ=AM+AM+PD時(shí)，四邊形是等腰梯形，即可求得t的值；
（3）根據(jù)△AOQ∽△COP，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得AO的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得OR的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（4）當(dāng)PQ∥AD，即PD=AQ時(shí)，PD=AD，則四邊形是菱形，據(jù)此即可得到關(guān)于時(shí)間t的方程，從而求解．
解答：解：（1）在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴AC=12cm，
作PN⊥AB，△DAC是等腰三角形，且∠DCA=30°．
作DF⊥AC于F，則CF=AC=6cm．
∴CD==4cm．

（2）設(shè)四邊形AQPD為等腰梯形，作PN⊥AB于N．作DM⊥AB于M．
則AM=QN=AD=2cm．
又∵PD=MN=4-0.5t，AQ=t，
∴2+2+（4-0.5t）=t，
解得：t=；

（3）∵△AOQ∽△COP，
∴===，
又∵AC=12，
∴AO=8
作OR⊥AB于R，則OR=AO×sin30°=4，
∴s=×AQ×OR=×t×4=2t；

（4）當(dāng)PQ∥AD，即PD=AQ時(shí)，且DP=AD．
由4-0.5t=t，得：t=．
而AD===4，
故t不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是理解四邊形AQPD是等腰梯形的條件．