Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A的左側），與y軸交于點C．過動點H（0，m）作平行于x軸的直線l，直線l與二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象相交于點D，E．

（1）寫出點A，點B的坐標；
（2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當⊙Q與x軸相切時，求m的值；
（3）直線l上是否存在一點F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，有 ，

解得：x1=4，x2=﹣1，

∴A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（﹣1，0）．

（2）

解：∵⊙Q與x軸相切，且與 交于D、E兩點，

∴圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處，

∵拋物線的對稱軸為 ，⊙Q的半徑為H點的縱坐標m（m＞0），

∴D、E兩點的坐標分別為：（ ﹣m，m），（ +m，m）

∵E點在二次函數(shù) 的圖象上，

∴ ，

解得 或 （不合題意，舍去）．

（3）

解：存在．

①如圖1，

當∠ACF=90°，AC=FC時，過點F作FG⊥y軸于G，

∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，

∴∠ACO=∠CFG，

∴△ACO≌△CFG，

∴CG=AO=4，

∵CO=2，

∴m=OG=2+4=6；

反向延長FC，使得CF=CF′，此時△ACF′亦為等腰直角三角形，

易得yC﹣yF′=CG=4，

∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．

②如圖2，

當∠CAF=90°，AC=AF時，過點F作FP⊥x軸于P，

∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，

∴∠ACO=∠FAP，

∴△ACO≌△∠FAP，

∴FP=AO=4，

∴m=FP=4；

反向延長FA，使得AF=AF′，此時△ACF’亦為等腰直角三角形，

易得yA﹣yF′=FP=4，

∴m=0﹣4=﹣4．

③如圖3，

當∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時，則F點一定在AC的中垂線上，此時存在兩個點分別記為F，F(xiàn)′，

分別過F，F(xiàn)′兩點作x軸、y軸的垂線，分別交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，

∴∠DFC=∠EFA，

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，

∴△CDF≌△AEF，

∴CD=AE，DF=EF，

∴四邊形OEFD為正方形，

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，

∴4=2+2CD，

∴CD=1，

∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，

∴∠HF′C=∠GF′A，

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，

∴△HF′C≌△GF′A，

∴HF′=GF′，CH=AG，

∴四邊形OHF′G為正方形，

∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，

∴OH=1，

∴m=﹣1．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴y的最大值為 ．

∵直線l與拋物線有兩個交點，∴m＜ ．

∴m可取值為：﹣4、﹣2、﹣1或3．

綜上所述，直線l上存一點F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值為﹣4、﹣2、﹣1或3．

【解析】（1）A、B兩點的縱坐標都為0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圓和拋物線性質易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處，則Q的橫坐標為 ，可推出D、E兩點的坐標分別為：（ ﹣m，m），（ +m，m）．因為D、E都在拋物線上，代入一點即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點在AC的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時．利用全等三角形知識易得m的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．