Question

【題目】已知：為直徑，點為上一點，弦，垂足為，點為上一點，連接、、，.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點作，垂足為，連接交于，連接，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）半徑為.

【解析】

（1）由AB為直徑，CD⊥AB，得，從而∠CEB=∠BED=∠CDB，即可得到∠CED=2∠CDB，結合∠CDE=2∠CDB，即可求解；

（2）由可得∠ACE=∠ABE，由AM⊥CE，CH⊥AB，可得∠AHC=∠AMC，則∠AHM=∠ACM，故∠AHM=∠ABE，即可求解；

（3）證明△AEF≌△AEM（AAS）、△AFD≌△AMC（AAS）、△CGB∽△ECB，即可求解．

（1）∵為直徑，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴，

則∠AHM=∠ACM，

∴∠AHM=∠ABE，

∴MH∥BE；

（3）連接、、，過作，

則，AE=AE，

∴（AAS），

∴，EF=EM，

∵為直徑，，

∴，

∴，

∴ (HL) ，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

所以，，

，

∴，

∴，

相似比，

∴設，，，

過點作于，

∵，

作，

則，

，，，

∵，

∴，

解得，

∴，

，

，

，

，

∴半徑為.