Question

正方形邊長為4，、分別是、上的兩個動點，當點在上運動時，保持和垂直，設MB=x

（1）證明：；
（2）當點運動到什么位置時，
求此時的值．

Answer 1

（1）證明過程見解析，（2）M運動到BC中點時相似，x=2

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）M運動到BC中點時相似
∵△ABM∽△AMN，
∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，
AM=，
MN= =
：=
∴4：x= ： ，
（4-x）²（16+x²）=x²（16+x²），
16-8x=0，
解得x=2．即M運動到BC中點時相似