Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；

④點C到線段EF的最大距離為．

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

A．1個　　   B．2個　　   C．3個　　     D．4個

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；

③由割補法可知四邊形CEDF的面積保持不變；

④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值，此時點C到線段EF的最大距離．

①連接CD

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CDF；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項錯誤；

③如圖所示，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，

可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項錯誤；

④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，

當(dāng)EF∥AB時，

∵AE=CF，

∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，

∴EF取最小值，

∵CE=CF=2，

∴此時點C到線段EF的最大距離為，故此選項正確；

故正確的有2個，

故選B．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)

點評：根據(jù)圖形利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵．