Question

【題目】（1）操作與探究：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，折痕的一端G點在邊BC上，BG=10．

①第一次折疊：當折痕的另一端點F在AB邊上時，如圖1，求折痕GF的長；

②第二次折疊：當折痕的另一端點F在AD邊上時，如圖2，證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

（2）拓展延伸：通過操作探究發(fā)現(xiàn)在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=13．如圖3所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ．當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動．若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①GF=5；②4；（2）4.

【解析】

（1）①首先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長，進而利用勾股定理求出AF和EF的長，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
②首先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再利用BG=EG，得出四邊形BGEF是菱形，再利用菱形性質(zhì)求出FG的長；
（2）分別利用當點P與點B重合時，以及當點D與點Q重合時，求出A′B的極值進而得出答案．

（1）①解：如圖①過G作GH⊥AD，

在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH==6，AE=10-6=4，
設AF=x，則EF=BF=8-x，
則AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
在Rt△BFG中，根據(jù)勾股定理得FG=.

②證明：如圖②，過F作FK⊥BG于K，

∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四邊形BGEF是平行四邊形；
由對稱性知，BG=EG，
∴四邊形BGEF是菱形．

BG=BF=10,AB=8,AF=6,

∴KG=4,FG=；

（2）如圖1，當點P與點B重合時，根據(jù)翻折對稱性可得BA′=AB=5，
如圖2，當點D與點Q重合時，根據(jù)翻折對稱性可得

A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
即132=（13-A′B）2+52，
解得：A′B=1，
所以點A'在BC上可移動的最大距離為5-1=4．