Question

【題目】如圖，點D，E分別是不等邊△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的邊AB，AC的中點．點O是△ABC所在平面上的動點，連接OB，OC，點G，F分別是OB，OC的中點，順次連接點D，G，F，E.

(1)如圖，當點O在△ABC的內(nèi)部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數(shù)量關系？(直接寫出答案，不需要說明理由)

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)三角形的中位線定理可證得DE∥GF，DE＝GF，即可證得結論；

（2）解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO＝BC，且點O不在射線CD、射線BE上．

解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．

解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

【解析】

試題（1）根據(jù)三角形的中位線定理可證得DE∥GF，DE＝GF，即可證得結論；

（2）根據(jù)三角形的中位線定理結合菱形的判定方法分析即可.

（1）∵D、E分別是邊AB、AC的中點．

∴DE∥BC，DE＝BC．

同理，GF∥BC，GF＝BC．

∴DE∥GF，DE＝GF．

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO＝BC，且點O不在射線CD、射線BE上．

解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．

解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．