Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4），過點(diǎn)B作BA⊥x軸、BC⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)A、C．點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、B重合），點(diǎn)D在OC上，點(diǎn)E在AB上，將四邊形OAED以直線DE為對稱軸翻疊，使點(diǎn)O落在P處，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，PF交AB于Q，連接OP．
（1）求證：∠OPC=∠OPF；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，4），△PBQ的周長為n，當(dāng)點(diǎn)P在邊CB上移動(dòng)時(shí)，△PBQ的周長是否發(fā)生變化？若不變化，求出n的值；若變化，求出n與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出OD=DP，∠AOD=∠FPD=90°，進(jìn)而得出∠POD=∠DPO，再利用等量代換得出∠OPC=∠OPF；
（2）首先過點(diǎn)O作OG⊥PF，垂足為G，連接OQ，得出△OPC≌△OPG，進(jìn)而得出Rt△OGQ≌Rt△OAQ（HL），得出n=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PG+QG=BP+CP+BQ+QG=BC+AB，即可得出答案．

解答：（1）證明：由題意可得：OD=DP，∠AOD=∠FPD=90°，
∴∠POD=∠DPO，
∵∠POD+∠CPO=90°，∠DPO+∠OPF=90°，
∴∠OPC=∠OPF；

（2）解：m的值不變；
如圖：過點(diǎn)O作OG⊥PF，垂足為G，連接OQ，
則∠COP=∠OGP，
在△OPC和△OPG中

∠OCP=∠OGP ∠CPO=∠GPO OP=OP

，
∴△OPC≌△OPG（AAS），
∴OC=OG，PC=PG，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為：94，4），
∴OA=OC=BC=AB=4，
∴OG=OA，
在Rt△OGQ和Rt△OAQ中

OG=OA OQ=OQ

，
∴Rt△OGQ≌Rt△OAQ（HL），
∴AQ=GQ，
∴n=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PG+QG
=BP+CP+BQ+QG
=BC+AB
=4+4
=8．

點(diǎn)評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出AQ=GQ和PC=PG是解題關(guān)鍵．