Question

如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a,BE∥AC,DE交AC的延長線于F點，交BE于E點.

（1）  求證：DF="FE;"
（2）  若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC,求BE的長;
（3）  在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積.

Answer 1

(1)證明：延長DC交BE于點M，

∵BE∥AC，AB∥DC,∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴CM=AB=DC,C為DM的中點，BE∥AC，DF=FE;
（2）由（2）得CF是△DME的中位線，故ME=2CF,
又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，
∴BE="2BM=2ME=2AC," 又∵AC⊥DC,
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.
(3)可將四邊形ABED的面積分為兩部分，梯形ABMD和三角形DME,
在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,
由CF是△DME的中位線得CM=DC=,
四邊形ABMC是平行四邊形得AM=MC=,BM=AC=,
∴梯形ABMD面積為：;
由AC⊥DC和BE∥AC可證得三角形DME是直角三角形，
其面積為：,
∴四邊形ABED的面積為+

（1）可過點C延長DC交BE于M，可得C，F(xiàn)分別為DM，DE的中點；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；
（3）求四邊形ABED的面積，可分解為求梯形ABMD與三角形DME的面積，然后求兩面積之和即可．