Question

【題目】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)、，在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最短的問(wèn)題，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過(guò)這種方法可以求解很多問(wèn)題.

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在軸上，求的最小值；

（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.

（3）如圖4，，，，點(diǎn)，分別是射線，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）13.

【解析】

（1）作點(diǎn)A 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，的最小值即為的長(zhǎng)，并構(gòu)造以為斜邊的直角三角形利用勾股定理求出長(zhǎng)即可；

（2）作于點(diǎn)H，交AD與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，由角平分線的性質(zhì)可得，則，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得BH長(zhǎng)即可；

（3）作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)， 連接分別交OA、OB于點(diǎn)，連接，則的最小值為的長(zhǎng)，由對(duì)稱的性質(zhì)可得長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)即可.

解：（1）作點(diǎn)A 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，的最小值即為的長(zhǎng)，構(gòu)造以為斜邊的直角三角形

在中，由勾股定理得

即

所以的最小值為5.

（2）作于點(diǎn)H，交AD與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，

平分，，

在中，

由勾股定理得

所以的最小值為.

（3）作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)， 連接分別交OA、OB于點(diǎn)，連接，則的最小值為的長(zhǎng).

由對(duì)稱可得OA垂直平分，OB垂直平分，

在中由勾股定理得

所以的最小值為13.