Question

如圖1，四邊形ABCD是菱形，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）說(shuō)明△AEB≌△CFD的理由；
（2）連接AC、BD，AC與DB交于點(diǎn)O（如圖2），若BE=1．
①當(dāng)DC=2時(shí)，求FC的長(zhǎng)度；
②當(dāng)CD是∠ACF的平分線(xiàn)時(shí)，求DB的長(zhǎng)度與菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先這兩個(gè)三角形是直角三角形，可根據(jù)菱形的性質(zhì)四邊相等，對(duì)邊平行，可得到AB=DC，AE=CF；
（2）因?yàn)槿切蜛EB是直角三角形，可根據(jù)勾股定理求解；
（3）用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)以及勾股定理可求出DB的長(zhǎng)度與菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵AE⊥CE，CF⊥AF，
∴AE=CF，
∴在直角三角形AEB和直角三角形CFD中

AB=CD AE=CF

，
∴△AEB≌△CFD；

（2）①∵△AEB≌△CFD，
∴DF=BE=1，
∴FC=

22-12

=

3

，
②當(dāng)CD是∠ACF的平分線(xiàn)時(shí)
∵∠DOC=90°，∠CFD=90°，
∴DO=DF=1，
∴DB=2，
∵CD是∠ACF的平分線(xiàn)，
∴∠ECA=∠DCA=∠DCF=30°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理以及角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，和直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是熟記這些性質(zhì)定理和判定定理．