Question

△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°．
（1）如圖（1），若EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于點C、B，連接BC．請你判斷AB、AC是否相等，并說明理由；
（2）△ADE的位置保持不變，將（1）中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，CD、BE相交于O，請你判斷線段BE與CD的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CD=6，試求四邊形CEDB的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知得∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，利用“ASA”證明△AEC≌△ADB即可；
（2）BE=CD且BE⊥CD．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△AEB≌△ADC，從而可得BE=CD，再利用角的相等關(guān)系，互余關(guān)系證明BE⊥CD；
（3）由于BE⊥CD，BE=CD=6，當(dāng)四邊形的對角線互相垂直時，四邊形的面積等于對角線積的一半．

解答：解：（1）AB=AC．
理由如下：
∵EC、DB分別平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC=

1

2

∠AED，∠ADB=

1

2

∠ADE
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC；

（2）BE=CD且BE⊥CD．
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD；

（3）四邊形CEDB的面積=

1

2

×BE×CD=

1

2

CD2=18．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；要學(xué)會運(yùn)用角的相等關(guān)系，線段的相等關(guān)系將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．