Question

（2013•桂林模擬）已知：拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（0，5）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求△BCD的面積．
（3）將拋物線及△BCD同時(shí)向右平移a（0＜a＜5）個(gè)單位，那么△BCD將會(huì)被y軸分為兩部分，如果被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的

1

5

，求此時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C、點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC，可得出△BCD的面積；
（3）分兩種情況討論，①點(diǎn)D在y軸左側(cè)，②點(diǎn)D在y軸右側(cè)，根據(jù)△BCD被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的

1

5

，可得出a的方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（0，5）代入拋物線y=-x²+bx+c可得：

-1+b+c=0 c=5

，
解得：

b=-4 c=5

，
故拋物線解析式為：y=-x²-4x+5．

（2）由y=-x²-4x+5，
令y=0，得-x²-4x+5=0，
解得：x₁=-5，x₂=1，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0），
由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，9），
過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，
則S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC=

1

2

×（5+9）×2+

1

2

×3×9-

1

2

×5×5=15；

（3）平移后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5+a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2+a，9），
則直線BC的解析式為：y=x+5-a，
直線CD的解析式為：y=3x+15-3a，
直線BD的解析式為：y=-2x+2a+5，
①當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)或y軸上時(shí)，0＜a≤2，如圖1所示：

點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2a+5），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，5-a），
過點(diǎn)B作BH⊥y軸于點(diǎn)H，
S_△BEF=

1

2

EF×BH=

3a2

2

=

1

5

×15，
解得：a=

2

或-

2

（舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí)，2＜a＜5，如圖2所示：

點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-15-3a），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，5-a），
S_△CEF=

1

2

EF×OC=a²-10a+25=

1

5

×15，
解得：a=5+

3

（舍去）或a=5-

3

，
綜上可得：當(dāng)a=

2

時(shí)，拋物線解析式為：y=-（x+2-

2

）²+9；
當(dāng)a=5-

3

時(shí)，拋物線解析式為：y=-（x-3+

3

）²+9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積及二次函數(shù)的幾何變換，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．