Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和(0，3）.動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的速度分別為1，，2 (長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長度單位/秒)的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．

請解答下列問題：

1.過A，B兩點的直線解析式是      ▲       

2.當t﹦4時，點P的坐標為    ▲    ；當t ﹦    ▲     ，點P與點E重合；

3.① 作點P關于直線EF的對稱點P′. 在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

② 當t﹦2時，是否存在著點Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.；………4分

2.（0,），；……4分（各2分）

3.①當點在線段上時，過作⊥軸，為垂足（如圖1）

          ∵,,∠∠90°

         ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

         而，∴,

         由得  ；…………………1分

         當點P在線段上時，形成的是三角形，不存在菱形；

         當點P在線段上時，

過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2）

         ∵,∴,∴

         ∴， 又∵

         在Rt△中，

         即，解得．…………………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

         ∵，∴,，

將△繞點順時針方向旋轉90°，得到

△（如圖3）

         ∵⊥，∴點在直線上，

         C點坐標為（，－1）

         過作∥，交于點Q,

則△∽△

         由，可得Q的坐標為（－，）………………………1分

根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點（－，）也符合條件．……1分

解析:（1）考查了待定系數法求一次函數；

（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；

（3）①此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．

②當t﹦2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．