Question

定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．
如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點(diǎn)，AD⊥IC于點(diǎn)D．
（1）試探究：D、E、F三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，

DE

EF

=n，試作出分別以

m

n

、

n

m

為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）若設(shè)AC與⊙I的切點(diǎn)為M，那么又切線長定理知：∠MCI=∠ECI，即∠ACD=∠KCD，而CD⊥AK，可得兩個(gè)條件：AC=CK，AD=DK；同樣由切線長定理知：BE=BF，AF=AM=AC+CE，因此可得

KD

DA

•

AF

FB

•

BE

EK

=1，即可證得D、E、F三點(diǎn)共線．
（2）由于AB=AC，即△ABC是等腰三角形，而BC是⊙I的切線，即IE⊥BC，由切線長定理知AI平分∠CAB，即AI⊥BC，因此A、E、I三點(diǎn)共線，由此可得兩組相似三角形：則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，根據(jù)第二組相似三角形得到的比例線段可求得⊙I的半徑，根據(jù)第一組相似三角形可得AD、ID的比例關(guān)系，聯(lián)立AI的長以及勾股定理可確定AD、DI的長；易知∠ADI、∠AFI都是直角，因此A、F、I、D四點(diǎn)共圓（以AI為直徑），即可證得△DEI∽△AEF，根據(jù)DI、AF的長可得m、n的值，進(jìn)而可根據(jù)韋達(dá)定理得出所求的一元二次方程．

解答：解：（1）結(jié)論：D、E、F三點(diǎn)是同在一條直線上．（1分）
證明：分別延長AD、BC交于點(diǎn)K，
由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，
再由切線長定理得：AC+CE=AF，BE=BF，（3分）
∴KE=AF．∴

KD

DA

•

AF

FB

•

BE

EK

=1，
由梅涅勞斯定理的逆定理可證，D、E、F三點(diǎn)共線，
即D、E、F三點(diǎn)共線．（3分）

（2）∵AB=AC=5，BC=6，
∴A、E、I三點(diǎn)共線，CE=BE=3，AE=4，
連接IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點(diǎn)共圓．（2分）
設(shè)⊙I的半徑為r，則：

3

r

=

4

8

，r=6，
∴AI=10，

AD

ID

=

3

6

，即AD=2

5

，ID=4

5

，
∴由△AEF∽△DEI得：m=(

4 5

8

)2=

5

4

，

DE

AE

=

4 5

8

=

5

2

，DE=2

5

，

IE

EF

=

5

2

，EF=

12

5

5

，∴n=

5

6

．（4分）
∴

m n + n m = 13 6 m n • n m =1

，
因此，由韋達(dá)定理可知：分別以

m

n

、

n

m

為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程是6x²-13x+6=0．（3分）

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、三點(diǎn)共線的判定方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、梅氏定理、勾股定理以及韋達(dá)定理等知識的綜合應(yīng)用，難度較大．