Question

如圖，拋物線y=與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延長OD與拋物線在第一象限內(nèi)交于點E，求點E的坐標；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在一點P，使得四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可得點A，C的坐標，代入函數(shù)解析式即可求得b，c的值；
（2）根據(jù)題意求的點B的坐標，即可求得△OBC為等腰三角形，可得點E的橫縱坐標相等，解方程即可求得點E的坐標；
（3）作PE∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定定理，證得PE=OB即可．
解答：解：（1）由圖可得A（-2，0）、C（0，3），
∵A、C在拋物線y=上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=．（4分）

（2）過O作OD⊥BC垂足為D交拋物線于E，
由（1）得拋物線與x軸的交點B（3，0），
∴OB=OC即△OBC為等腰直角三角形，
∵OD⊥BC，
∴∠EOB=45°，
又∵E在第一象限內(nèi)，
∴易知E的橫坐標與縱坐標相等．
設E（x，x），則有x=，
解得x₁=2，x₂=-3（不合題意，舍去），
∴E（2，2）．（9分）

（3）過E作EP∥OB交拋物線于P，設P（m，n），
∵EP∥OB，
∴n=2，
由于P在拋物線上，
∴2=，
解得m₁=-1，m₂=2（不合題意，舍去）．
∴P（-1，2），
∵PE∥OB且PE=OB，
∴四邊形OBEP是平行四邊形，
∴存在一點P（-1，2）使得四邊形OBEP是平行四邊形．（14分）
點評：此題考查了二次函數(shù)與三角形以及平行四邊形的綜合知識，解題時要注意認真審題，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．