Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）若存在點(diǎn)P，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)m=1或2或時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（3）P（）或（）.

試題分析：（1）由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）因?yàn)镻F∥CO，所以當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD上方且∠PCF=45⁰時(shí)，作PM⊥CD于點(diǎn)M，CN⊥PF于點(diǎn)N，則△PMF∽△CNF，∴，∴PM=CM=2CF，∴，又∵，∴，解得：，（舍去），∴P（），當(dāng)點(diǎn)P在CD下方且∠PCF=45⁰時(shí)，同理可以求得：另外一點(diǎn)為P（）.

試題解析：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴C（0，2）.
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），D ，
∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m且在拋物線上， ∴.
∵PF∥CO，∴當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
當(dāng)時(shí)，，
∴，解得：.
即當(dāng)m=1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形.
當(dāng)時(shí)，，
∴，解得：（∵點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，∴舍去）.
即當(dāng)時(shí)，四邊形OCFP是平行四邊形.
綜上所述，當(dāng)m=1或2或時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
（3）P（）或（）.