Question

如圖，△OP₁A₁，△A₁P₂A₂，△A₂P₃A₃…都是等腰直角三角形，直角頂點P₁，P₂，P₃…都在函數(shù)（x＞0）的圖象上，若三角形依次排列下去，則A₂₀₀₉的坐標是________．

Answer 1

（4，0）
分析：由于△OP₁A₁是等腰直角三角形，可知直線OP₁的解析式為y=x，將它與聯(lián)立，求出方程組的解，得到點P₁的坐標，則A₁的橫坐標是P₁的橫坐標的兩倍，從而確定點A₁的坐標；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，則A₁P₂∥OP₁，直線A₁P₂可看作是直線OP₁向右平移OA₁個單位長度得到的，因而得到直線A₁P₂的解析式，同樣，將它與聯(lián)立，求出方程組的解，得到點P₂的坐標，則P₂的橫坐標是線段A₁A₂的中點，從而確定點A₂的坐標；依此類推，從而確定點A₂₀₀₉的坐標．
解答：解：過P₁作P₁B₁⊥x軸于B₁，
易知B₁（2，0）是OA₁的中點，
∴A₁（4，0）．
可得P₁的坐標為（2，2），
∴P₁O的解析式為：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，
∴A₁P₂的表達式與P₁O的解析式一次項系數(shù)相等，
將A₁（4，0）代入y=x+b，
∴b=4，
∴A₁P₂的表達式是y=x+4，
與（x＞0）聯(lián)立，解得P₂（2+2，-2+2）．
仿上，A₂（4，0）．
P₃（2+2，-2+2 ），A₃（4，0）．
依此類推，點A₂₀₀₉的坐標是（4，0）．
故答案為：（4，0）．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進行求解．