Question

【題目】矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（10，0）、C（0，3），直線 與BC相交于點D，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．
（3）若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N，問：是否存在點P，使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，點D的縱坐標為3，

∵點D在直線y= x上，

∴點D的坐標為（9，3），

將點D（9，3）、點A（10，0）代入拋物線可得： ，

解得： ，

故拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x．

（2）

解：∵點D坐標為（9，3），點A坐標為（10，0），

∴OA=10，OD= =3 ，AD= = ，

從而可得OA2=OD2+AD2，

故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）

解：①由圖形可得當(dāng)點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，

此時∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP= OA=5，

即可得此時點P的坐標為（5，0）．

②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點M的橫坐標為5，代入直線方程可得點M的縱坐標為 ，

故可求得OM= ，

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得 = ，即 = ，

解得：MP′= ，

又∵MN=點M的縱坐標= ，

∴P′N= ﹣ =15，

即可得此時點P′的坐標為（5，﹣15）．

綜上可得存在這樣的點P，點P的坐標為（5，0）或（5，﹣15）．

【解析】（1）根據(jù)題意可得出點D的縱坐標為3，代入直線解析式可得出點D的橫坐標，從而將點D和點A的坐標代入可得出拋物線的解析式．（2）分別求出OA、OD、AD的長度，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．（3）①由圖形可得當(dāng)點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質(zhì)分別得出點P的坐標即可．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�