Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面積為36，動點P從D點出發(fā)沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發(fā)沿CB以每秒2個單位的速度向點B運動，兩點同時出發(fā)，點P到達點C時，Q點隨之停止運動．
（1）線段CD的長為

 

；
（2）設P、Q運動時間為t（0＜t＜5）秒，PQ與梯形ABCD的邊DC、BC所圍成的三角形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）是否存在某一時刻，使以P、Q、C三點為頂點的三角形是直角三角形，若有，請求出相應時間；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，則四邊形ADFE是矩形，△ABE≌△DCF，由勾股定理可求得CD的值；
（2）過點P作PG⊥BC于點G，則PG是△PCQ的高，由平行線的性質(zhì)可求得高PG用t表示的代數(shù)式，而CQ=2t，故可求得S與t的關系式；
（3）分兩種情況討論：當PQ⊥BC時，作DE⊥BC于E，由平行線分線段成比例可求解；當QP⊥CD時，可由相似三角形的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分為點E、F，則四邊形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，
由題意四邊形ABCD是等腰梯形，AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴CF=BE=（BC-EF）÷2=3
∵梯形的面積為36，
∴DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD=

CF2+DF2

=5；


（2）過點P作PG⊥BC于點G，則PG是△PCQ的高，有PG∥DF，
∴PG：DF=CP：CD，
∵DP=t，CD=5，DF=4，PC=CD-DP
∴PG=

4(5-t)

5

，
∵CQ=2t，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•PG=

1

2

•2t•

4(5-t)

5

=

-4t2+20t

5

（3）當P、Q、C三點構成的三角形是直角三角形時，有兩種情況：
①當PQ⊥BC時，作DE⊥BC于E，

∴PQ∥DE，
∴

CP

CD

=

CQ

CE

，
∴

5-t

5

=

2t

3

，
∴t=

15

13

（7分）
②當QP⊥CD時，

∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△QPC∽△DEC，
∴

PC

EC

=

CQ

CD

，

5-t

3

=

2t

5

，
∴t=

25

11

（9分）
由①、②知：當t=

15

13

或

25

11

時，P、Q、C三點構成的三角形是直角三角形

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了平行線分線段成比價的性質(zhì)、相似三角形的知識．注意處級（3）小題要分兩種情況討論．