Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=0，且（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2，求x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先把x+y+z=0變?yōu)閦=-x-y，然后代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，化簡(jiǎn)為3y²+3xy+3x²-1≤0，可以看作關(guān)于y的不等式，然后利用判別式即可解決問(wèn)題．

解答：解：∵實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=0，
∴z=-x-y，
將z=-x-y代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，
化簡(jiǎn)得3y²+3xy+3x²-1≤0，
∵x，y，z為實(shí)數(shù)，
∴△=9x²-12（3x²-1）≥0，
∴-

2

3

≤x≤

2

3

，
當(dāng)xmax=

2

3

，此時(shí)y=z=-

1

3

，
當(dāng)xmin=-

2

3

，此時(shí)y=z=

1

3

．
∴x的最大值和最小值分別為

2

3

和-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把已知不等式變?yōu)殛P(guān)于某一個(gè)未知數(shù)的不等式，然后利用判別式即可解決問(wèn)題．