Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點（0，0）和A（1，-3）、B（-1，5）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C．以O(shè)C為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，且y軸的正半軸交于點為E，連接MD．已知點E的坐標(biāo)為（0，m），求四邊形EOMD的面積．（用含m的代數(shù)式表示）
（3）延長DM交⊙M于點N，連接ON、OD，當(dāng)點P在（2）的條件下運(yùn)動到什么位置時，能使得S_{四邊形EOMD}=S_△DON？請求出此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將O、A、B三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式；
（2）連接EM；由于ED、EO都是⊙M的切線，根據(jù)切線長定理可得到ED=EO，根據(jù)SSS可證得△EDM≌△EOM，則它們的面積相等，因此四邊形EOMD的面積其實是△EOM的面積的2倍，以O(shè)M為底，OE為長可求出△EOM的面積，即可得到四邊形EOMD的面積表達(dá)式；
（3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它們的面積相等；由此可證得△EOM與△OMD的面積相等，由于這兩個三角形共用底邊OM，則ED∥x軸，根據(jù)⊙M的半徑即得到直線PD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過O（0，0）、A（1，-3）、B（-1，5）三點，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線y=x²-4x與軸的另一個交點坐標(biāo)為C（4，0），
連接EM．
∴⊙M的半徑是2，即OM=DM=2．
∵ED、EO都是⊙M的切線，
∴EO=ED．
∴△EOM≌△EDM．
∴S_{四邊形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
當(dāng)S_{四邊形EOMD}=S_△DON時，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x軸，
又∵ED為切線，
∴D點的坐標(biāo)為（2，2）；
∵P在直線ED上，故設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，2），
∵P在拋物線上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）為所求．

點評：此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的性質(zhì)、切線長定理、函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法等重要知識．此題難度較大，注意能夠發(fā)現(xiàn)△EOM、△OMD的面積關(guān)系，從而得到直線PD與x軸的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．