Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時(如圖1)，易證BM+DN=MN．

(1)當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時(如圖2)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系?寫出猜想，并加以證明．
(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系?請直接寫出你的猜想．

Answer 1

(1)BM+DN=MN成立．(2)DN-BM=MN.

試題分析：解：(1)BM+DN=MN成立．
如下圖，在MB的延長線上，截得BE=DN，連接AE
易證：△ABE≌△ADN
∴AE=AN．
∴∠EAB=∠NMD．
∴∠BAD=90°,∠NAM=45°
∴∠BAM+∠NMD=45°．
∴∠EAB+∠BAM=45°．
∴∠EAM=∠NAM 
又AM為公共邊，
∴△AEM≌△ANM
∴ME=MN.
∴ME=BE+BM=DN+BM.
∴DN+BM=MN.
(2)

DN-BM=MN．
理由如下：
如圖，在DC上截取DF=BM，連接AF．
∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，
即∠MAF=∠BAD=90°．
又∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠MAN=45°．
∵AN=AN，
∴△MAN≌△FAN．
∴MN=FN，
即 MN=DN-DF=DN-BM；
點評：本題難度驕傲大，主要考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識點，運用截長補短法構造全等三角形是關鍵．也可運用圖形的旋轉性質構造全等三角形．