Question

【題目】如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠A=30°，AB=8，F是OB的中點，連接DF并延長交⊙O于G，求弦DG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DG=4．

【解析】

（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．

（2）連接BD，證得△ODB是等邊三角形后即可得到FD=FG，然后在Rt△BDF中選擇合理的邊角關(guān)系求得DF，進而求得DG的長即可．

（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，∴∠A=∠1．

∵BA=BC，∴∠A=∠C．

∴∠1=∠C．

∵DE⊥BC，垂足為E，

∴∠2+∠C=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∴∠ODE=90°．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線．

（2）連接BD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∵∠A=30°，AB=8，

∴DB=4，∠ABD=60°．

∵OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形．

∵F是OB的中點，

∴DG⊥AB．

∴FD=FG．

在Rt△BDF中，∠ABD=60°．

∴DF=BDsin60°=2．

∴DG=4．