Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上，
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；拋物線的解析式為______；
（2）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若點(diǎn)D是（1）中所求拋物線在第三象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CD．當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（4）若點(diǎn)P是（1）中所求拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段AB、BP為鄰邊作平行四邊形ABPQ．當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAC中，已知AC、OC的長(zhǎng)，由勾股定理可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；過點(diǎn)B作x軸的垂線，通過構(gòu)建的全等三角形可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可．
（2）由于∠ACB=90°，顯然直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求；另外，過點(diǎn)A作直線BC的平行線，那么該直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)顯然也符合點(diǎn)P的要求．
（3）已知B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，那么在求△BCD的面積時(shí)，可以B、C的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值作為△BCD的一個(gè)高，過D作x軸的垂線交直線BC于M，那么可將DM當(dāng)作此時(shí)△BCD的底，可據(jù)此求出關(guān)于△BCD的面積的函數(shù)關(guān)系式，再由所得函數(shù)的性質(zhì)來求解．
（4）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，取BQ的中點(diǎn)，若AB、BP為平行四邊形的鄰邊，那么根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性可知：A、P關(guān)于BQ的中點(diǎn)對(duì)稱，先表示出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在Rt△OAC中，AC=，OC=1，∴OA==2，即 A（0，2）；
過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，可得：△BEC≌△COA，
∴BE=OC=1，CE=OA=2，OE=CE+OC=3，即 B（-3，1）；
將點(diǎn)B（-3，1）代入y=ax²+ax-2中，得：
9a-3a-2=1，a=
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2．
故答案：A（0，2），B（-3，1），y=x²+x-2．

（2）存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使三角形ACP是以AC為直角邊的直角三角形
理由如下：
分情況討論：
①延長(zhǎng)BC交拋物線于點(diǎn)P，連接AP₁
因?yàn)椤螦CB=90°，∴∠ACP=90°
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
將B（-3，1），C（-1，0）代入上式得
，所以 y=-x-；
聯(lián)立方程組，解得，（不符合題意舍去）
所以：P₁（1，-1）；
②過點(diǎn)A作AP₂∥BC，交拋物線于點(diǎn)P₂，P₃
設(shè)直線AP₂的解析式為y=-x+b，將A（0，2）代入得b₁=2
所以：y=-x+2
聯(lián)立方程組，解得：，
所以：P₂（2，1），P₃（-4，4）；
綜上所述：存在點(diǎn)P₁（1，-1），P₂（2，1），P₃（-4，4）（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²+m-2），過點(diǎn)D作DM⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m-），MD=-m²-m+；
再設(shè)三角形BCD的面積為S．
S=×MD×（x_C-x_B）=（-m²-m+）×2=-（m+1）²+2；
因?yàn)镾是m的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，函數(shù)有最大值
即當(dāng)m=-1時(shí)S有最大值2
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2）．

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)（x，0），取BQ的中點(diǎn)（，）；
由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)（，）；
已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)必為 ×2-2=-1；將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中，得：
-1=x²+x-2，解得：x=1或-2；
∴點(diǎn)P（1，-1）或（-2，-1）．
點(diǎn)評(píng)：該題涉及的內(nèi)容較多，難度也較大，主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、特殊幾何圖形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等．在解題時(shí)，一定要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用，通過部分輔助線往往可以題目變的簡(jiǎn)潔、明了．