Question

（2012•普陀區(qū)一模）如圖，梯形OABC，BC∥OA，邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，點B（3，4），AB=5．
（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函數(shù)y=

4

9

x2+bx+c的圖象經(jīng)過O、A兩點，求這個二次函數(shù)的解析式并求圖象頂點M的坐標；
（3）點Q在x軸上，以點Q，點O及（2）中的點M為頂點的三角形與△ABO相似，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥OA于點D，由點B的坐標可以求出BD、OD的值，在直角三角形ABD中由勾股定理可以求出AD的值，從而可以求出∠BAO的正切值．
（2）由條件可以求出A點的坐標，利用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)條件當△ABO∽△MQO和△ABO∽△QMO時，從兩種情況根據(jù)相似三角形的性質就可以求出OQ的值，從而求出Q點的坐標．

解答：解：（1）作BD⊥OA于點D，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD²=AB²-BD²
∵B（3，4），
∴OD=3，BD=4．
∵AB=5，
∴AD²=25-16，
∴AD=3，
∴tan∠BAD=

4

3

．


（2）∵AD=3，OD=3，
∴OA=6，
∴A（6，0），O（0，0）
∴

0=c 0= 4 9 ×36 +6b+c

∴

b=- 8 3 c=0

∴拋物線的解析式為：y=

4

9

x2-

8

3

x
∴y=

4

9

(x -3)2-4，
∴M（3，-4）．

（3）∵M（3，-4），B（3，4），
∴OB=OM，
∵BD⊥OA，OD=AD，
∴OB=AB=5，
∴OM=5．
△ABO∽△MQO時，

AO

MO

=

BO

OQ

，
∴

6

5

=

5

OQ

，
∴OQ=

25

6

，
∴Q（

25

6

，0）
△ABO∽△QMO時，

AO

QO

=

BO

MO

，
∴

6

QO

=

5

5

，
∴QO=6，
∴Q（6，0），
綜上所述，所以Q（

25

6

，0）或（6，0）

點評：本題考查了坐標與圖形的性質，銳角三角函數(shù)的運用，勾股定理的運用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質．