Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，BD⊥AD．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）作AG⊥CB于G，若AD=1，AG=2，求sinC的值；
（3）若（2）中的四邊形AGCD為一不可卷折的板材，問該板材能否通過一直徑為1.8的圓洞門？請計算說明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的判定定理，證明對角線互相垂直的平行四邊形是平行四邊形是菱形，即可判斷；
（2）首先可以證得：四邊形AGBD是矩形，然后根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）利用三角函數(shù)求得GH的長度，然后與1.8比較大小，即可判斷．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，DC=AB，DC∥AB，
∴E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
又∵BD⊥AD，
所以DE=

1

2

AB=BE，
∴四邊形BEDF是菱形；

（2）解：由題意：DB⊥BC，
∴DB∥AC，又AD∥CG，
∴四邊形AGBD是矩形，
∴DB=AG=2．
在平行四邊形ABCD中，BC=AD=1，
∴CD=

BD2+CB2

=

5

，
∴sinC=

BD

CD

=

2

5

=

2 5

5

；

（3）解：由（2）知，BG=AD=BC=1，
∴GC=2，
∴AG=GC=2＞1.8，
作GH⊥CD于H．在直角△GCH中，GH=GC•sinC=2×

2

5

5

≈1.79＜1.8，
∴四邊形能夾在平行于CD，且兩者之間距離不足1.8的平行線之間．
∴該板材可以通過直徑是1.8的圓洞口．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，正確求得CD的長是關(guān)鍵．